Một số kinh nghiệm giải hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh vào 10 Nam Định

Hướng dẫn giải hệ phương trình thi vào 10

Để giúp các bạn học sinh chuẩn bị tốt hơn cho kì thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Nam Định, chúng tôi tiếp tục gửi tới các em và thầy cô bài viết về hệ phương trình. Ở bài viết trước chúng tôi đã có bài viết về chủ đề Phương trình bậc hai chứa tham số và định lý Vi-ét, bạn đọc có thể đọc tại đây.

Bài toán giải hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Nam Định có độ khó lớn hơn so với các đề thi tuyển sinh của các tỉnh khác trong cả nước. Nội dung vẫn xoay quanh ba phương pháp được đề cập trong sách giáo khoa và sách bài tập toán 9 là phương pháp thế, phương pháp cộng phương pháp đặt ẩn phụ. Tuy nhiên dạng bài tập thì phong phú hơn các bài tập được đề cập trong sách giáo khoa và sách bài tập.

Sau đây chúng tôi sẽ gửi tới một số kinh nghiệm định hướng tìm lời giải cho bài toán này. Các kinh nghiệm này được đúc kết từ các đề thi chính thức và đề thi thử trong các năm qua của tỉnh Nam Định. Mo đó nó không thể có tính phổ quát cho tất cả các bài toán giải hệ phương trình, mà chỉ giới hạn trọng một phạm vi hẹp. Mặc dù vậy, chúng tôi tin rằng nó có rất nhiều giá trị tham khảo cho các em học sinh và thầy cô trong quá trình ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Nam Định.

  1. Khi nào chúng ta dùng phương pháp thế?
    Phương pháp thế thực hiện được khi trong hệ có một phương trình bậc 1 dạng $ax+by=c$. Hoặc có thể rút được một ẩn theo ẩn còn lại, chẳng hạn $x^2+x-2y=1\Rightarrow 2y=x^2+2x-1$.
    Ví dụ: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr}2x+3y=xy+6 & (1)\\ x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{y}{x}. & (2)\end{array}\right.$
    Từ (2) suy ra $y=x^2+1$, thế vào (1) ta được
    $$2x+3(x^2+1)=x(x^2+1)+6.$$ Giải phương trình này ta được ba nghiệm $x=\pm 1$, $x=3$ và tìm được nghiệm của hệ.
    Chú ý, bài toán trên còn có thể giải bằng cách khác như sau, phương trình (1) có thể phân tích thành nhân tử $(x-3)(y-2)=0$. Từ đó thế vào (2) ta cũng tìm được nghiệm của hệ.
  2. Khi nào chúng ta dùng phương pháp cộng đại số?
    Phương pháp cộng đại số được thực hiện với mục đích làm biến mất những bộ phận phức tạp trong hệ phương trình. Thông thường trong đề thi vào 10 thì có ba dạng.
    Dạng 1: Hai phương trình có một phần giống nhau.
    Dạng 2: Cộng đại số để tạo ra hằng đẳng thức.
    Dạng 3: Cộng đại số để phân số có thể giản ước được.
    Ví dụ 2.1: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr}3x+y=x(x+y) & (1)\\ \dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x+y}=5. & (2)\end{array}\right.$
    Điều kiện: $x\neq 0$, $x+y\neq 1$.
    Thực hiện phép quy đồng bỏ mẫu trong (2) ta được hệ phương trình tương đương $$\left\{\begin{array}{lr}3x+y=x(x+y) & (3)\\ x+3y=5x(x+y) & (4)\end{array}\right.$$ Ta thấy hai phương trình trong hệ mới có một phần giống nhau là $x(x+y)$ nên ta sẽ nhân hai vế của (3) với $5$ rồi trừ vế hai phương trình thu được phương trình bậc nhất $7x+y=0$. Đến đây ta đã có thể giải hệ bằng phương pháp thế.
    Đáp số $\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{14}{3}\right)$.
    Ví dụ 2.2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr}4x^2+xy=2 & (1)\\ y^2+3xy=-2. & (2)\end{array}\right.$
    Cộng vế hai phương trình ta thu được $$4x^2+4xy+y^2=0\Leftrightarrow (2x+y)^2=0\Leftrightarrow 2x+y=0.$$ Đến đây ta có thể giải hệ bằng phương pháp thế.
    Đáp số $(1;-2)$, $(-1;2)$.
    Ví dụ 2.3: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr}y+\dfrac{2x}{x-y}=8 & (1)\\ x+\dfrac{y}{x-y}=3. & (2)\end{array}\right.$
    Để ý thấy rằng hai phương trình của hệ có hai phân thức cùng mẫu, việc đặt ẩn phụ gặp khó khăn nên ta nghĩ đến việc cộng hoặc trừ hai vế để hai phân thức có thể kết hợp và giản ước được.
    Nếu trừ hai vế ngay thì hiệu hai phân thức trở thành $\dfrac{2x-y}{x-y}$. Rõ ràng phân thức này không giản ước được. Nghĩ một chút, cần thay đổi như nào thì phân thức mới có thể giản ước được? Trên tử phải là $x-y$ hoặc $2x-2y$ thì mới giản ước được! Từ đó ta nghĩ đến việc nhân hai vế (2) với $2$ rồi mới trừ vế hai phương trình. Ta được
    $$y-2x+\dfrac{2x-2y}{x-y}=2\Leftrightarrow x-2y=0.$$ Đến đây ta có thể giải hệ bằng phương pháp thế.
    Đáp số $(5;10)$.
  3. Khi nào chúng ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ?
    Pháp đặt ẩn phụ thường được sử dụng khi trong hệ có nhiều thành phần giống nhau.
    Ví dụ 3.1: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr}\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1-x-y}{x+y}=\dfrac{22}{15}\\ \dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{5+x+y}{x+y}=3.\end{array}\right.$
    Hướng dẫn: Đặt $ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} =a$, $ \dfrac{1}{x+y}=b$. Đáp số $(4;1)$.
    Ví dụ 3.2: Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr}\dfrac{1-xy}{x-y-2}=1\\ x^2y-y^2x=2.\end{array}\right.$
    Hướng dẫn: Đặt $x-y=a$, $xy=b$. Đáp số $(2;1)$, $(-1;-2)$.

Hi vọng rằng với một số lưu ý như trên, bạn đọc sẽ có thêm cho mình những kinh nghiệm để giải quyết tốt bài toán giải hệ phương trình trong đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Nam Định.

Chúng tôi xin gửi tới bạn đọc thêm một vài bài tập để luyện tập. Chúc các bạn học sinh ôn tập tốt!

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
a. $\left\{\begin{array}{lr}4-y^2=x(x-2y)\\ (x-y)^2+x=2y+1\end{array}\right.$ b. $\left\{\begin{array}{lr}\dfrac{x+2y}{x+y}+x=2\\ \dfrac{xy}{x+y}+2=0\end{array}\right.$ c. $\left\{\begin{array}{lr}|x+1|+\dfrac{1}{x+y}=2\\ \dfrac{x+y}{x+1}+\dfrac{x+1}{9}=0\end{array}\right.$
d. $\left\{\begin{array}{lr}x^2+y^2+1=2(xy+y-x)\\ \dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}=2\end{array}\right.$

Bài 2: Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{lr} 2x-my=5\\ x+(m+2)y=6\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất $(x_0,y_0)$. Chứng minh rằng điểm $M(x_0;y_0)$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $m$ thay đổi.
Đáp số $m\neq -\dfrac{4}{3}$, $M\in d\colon y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{11}{2}$.

Bài 3: Cửa hàng điện máy bán một cái ti-vi và một cái điều hòa với tổng giá tiền là $15$ triệu đồng. Nhân chương trình khuyến mại “Mùa hè sôi động” Ti vi được giảm giá $10$%, điều hòa được giảm giá $15$% và nếu mua hai sản phẩm cùng lúc còn được giảm thêm $50$ nghìn đồng nên tổng số tiền cho hai sản phẩm này chỉ còn $13$ triệu. Tính giá tiền điều hòa khi chưa giảm giá.
Đáp số $9$ triệu.

Facebook Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *