Những đẳng thức đẹp có nhiều ứng dụng (HĐT 1)

hang-dang-thuc-nang-cao-1

Bên cạnh 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (hay như tôi vẫn nói vui với học sinh là cần đổi tên thành hằng đẳng thức phải nhớ) thì còn có nhiều hằng đẳng thức khác đẹp và việc chứng minh cũng không quá phức tạp nhưng lại có ứng dụng trong nhiều bài tập, đặc biệt là các bài tập nâng cao. Chúng tôi giới thiệu tới bạn đọc loạt bài viết về những đẳng thức như thế, mỗi bài viết sẽ giới thiệu một đẳng thức, bài viết này sẽ là đẳng thức đầu tiên.

Bài toán: Cho 3 số thực a,b,c. Chứng minh rằng:

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

Chứng minh: a/ Ta sẽ áp dụng các hằng đẳng thức

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2), A^3+B^3=(A+B)^3-3AB(A+B)

Ta có:

VT=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc

=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=VP

Ngoài ra ta còn có thể biến đổi thêm biểu thức P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac như sau

2P=2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc

=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2)

=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2

\Longrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=\dfrac{1}{2}\left[ (a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\right]

Các bài tập ứng dụng:

Bài 1: CMR nếu a,b,c là các số dương và a^3+b^3+c^3=3abc thì a=b=c.

Bài 2: CMR

(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x).

Bài 3: Rút gọn phân thức

A=\dfrac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}

B=\dfrac{(b-c)^3+(c-a)^3+(a-b)^3}{a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)}

Bài 4: Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2. CMR

\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{3}{abc}

Bài 5: Cho a,b,c\neq 0 thỏa mãn \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0. Tính giá trị biểu thức

C=\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}+\dfrac{ab}{c^2}

Bài 6: Cho a,b,c là các số có tổng khác 0 thỏa mãn a(a^2-bc)+b(b^2-ca)+c(c^2-ab)=0. Tính giá trị biểu thức

A=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}

Liên hệ học: Lớp Toán thầy An

Xuân Trường - Nam Định | SĐT: 0973 864 998

Facebook Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *