Chứng minh đẳng thức bằng định lý Talet và tam giác đồng dạng (1 đến 5)

Chủ đề chứng minh một đẳng thức hình học bằng cách sử dụng định lý Talet hay tam giác đồng dạng là một chủ đề thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 hoặc những câu phân loại trong đề thi vào lớp 10. Chúng tôi sẽ lần lượt giới thiệu đến bạn đọc những bài toán chọn lọc thuộc chủ đề này để bạn đọc đặc biệt là các bạn học sinh tham khảo và từ đó có thể tự hình thành tư duy giải quyết bài toán dạng này.

Mọi trao đổi thắc mắc hãy để lại comment ở phía dưới bài viết. Xin cảm ơn!

Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho DE song song với BC. Kẻ Cx song song với AB, gọi G là giao điểm của Cx với DE, H là giao điểm của GB và AC. Chứng minh rằng $$HC^2=HA.HE$$

chung-minh-dang-thuc-hinh-hoc-1

Hướng dẫn:

Ta có: $$DG\parallel BC$$, $$Cx\parallel AB$$ nên

$$\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HG}=\dfrac{HC}{HE}\Rightarrow HC^2=HE.HA$$

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB, CD là hai đáy, gọi O là giao điểm  của hai đường chéo , qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại I và cắt BC tại J. Chứng minh rằng $$\dfrac{2}{IJ}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}$$

chung-minh-dang-thuc-hinh-hoc-2

Hướng dẫn:

Trước tiên ta chứng minh được $$OI=OJ=\dfrac{1}{2}IJ$$ thật vậy, ta có

$$\dfrac{OI}{DC}=\dfrac{AI}{AD}=\dfrac{BJ}{BC}=\dfrac{OJ}{DC}\Rightarrow OI=OJ=\dfrac{1}{2}IJ$$

Khi đó $$\dfrac{2}{IJ}=\dfrac{2}{2OI}=\dfrac{1}{OI}$$.

Lại có:

$$\dfrac{OI}{AB}=\dfrac{DI}{AD}=\dfrac{OB}{AC}$$ và $$\dfrac{OI}{CD}=\dfrac{OA}{AC}$$

Nên $$\dfrac{OI}{AB}+\dfrac{OI}{CD}=\dfrac{OB}{AC}+\dfrac{OA}{AC}=1$$, suy ra

$$\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{1}{OI}=\dfrac{2}{IJ}$$.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, một đường thẳng d cắt các đoạn thẳng DA, DB, DC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rẳng $$\dfrac{DA}{DA’}+\dfrac{DC}{DC’}=\dfrac{DB}{DB’}$$

chung-minh-dang-thuc-hinh-hoc-3

Hướng dẫn:

Kẻ $$AI\parallel CJ\parallel d$$ ($$I,J\in BD$$).

Trước tiên ta dễ chứng minh được $$\Delta AID=\Delta CJB$$ nên $DI=BJ$.

Lại có $$\dfrac{DA}{DA’}=\dfrac{DI}{DB’}=\dfrac{BJ}{DB’}$$ và $$\dfrac{DC}{DC’}=\dfrac{DJ}{DB’}$$ nên

$$\dfrac{DA}{DA’}+\dfrac{DC}{DC’}=\dfrac{BJ}{DB’}+\dfrac{DJ}{DB’}=\dfrac{DB}{DB’}$$.

Bài 4: Cho tam giác ABC, A’, B’ là trung điểm BC, CA. Điểm M nằm trên cạnh AB, E là giao điểm của MA’ và AC, F là giao điểm của MB’ với BC. Chứng minh rằng IE = IF.

chung-minh-dang-thuc-hinh-hoc-4

Hướng dẫn:

Gọi $$J=CM\cap A’B’$$, dễ chỉ ra được J là trung điểm CM (1).

Bây giờ ta sẽ chứng minh $$MC\parallel EF$$, thật vậy

Kẻ $$CK\parallel AB$$, dễ chỉ ra được $$CK=BM$$, khi đó

$$\dfrac{FM}{FB’}=\dfrac{BM}{A’B’}=\dfrac{CK}{A’B’}=\dfrac{EC}{CB’}$$

Từ đó theo Talet đảo thì $$MC\parallel EF$$. (2)

Từ (1) và (2) ta dễ suy ra được điều phải chứng minh.

Bài 5: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O). Kẻ đường kính AC. H là hình chiếu của B trên AC. Gọi E là giao điểm của MC và BH. Chứng minh rằng EB = EH.

Hướng dẫn:

Cách 1:

chung-minh-dang-thuc-hinh-hoc-5

Trước tiên gọi D là giao điểm của BC và AM, ta sẽ chứng minh được M là trung điểm AD (chú ý rằng ABD vuông tại B và MA=MB).

Mà $$BH\parallel AD$$ nên ta dễ chỉ ra được E là trung điểm BH.

Cách 2:

chung-minh-dang-thuc-hinh-hoc-5a

Dễ chỉ ra được $$\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{EH}{MA}$$ (1)

Lại có $$\Delta AOM$$ và $$\Delta HCB$$ đồng dạng nên

$$\dfrac{HC}{AO}=\dfrac{BH}{MA}=\dfrac{2HC}{2AO}=\dfrac{2CH}{CA}\Rightarrow \dfrac{BH}{2MA}=\dfrac{HC}{CA}$$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $$\dfrac{BH}{2MA}=\dfrac{EH}{MA}\Rightarrow BH=2EH\Rightarrow EB=EH$$

Liên hệ học: Lớp Toán thầy An

Xuân Trường – Nam Định | SĐT: 0973 864 998

Facebook Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *