Các hướng đi khi giải bài toán phương trình bậc hai chứa tham số trong đề thi TS vào 10 Nam Định

Trong các đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Nam Định những năm trước đây câu tham số phương trình bậc hai chưa có năm nào hỏi quá khó, nhưng có những năm để làm được học sinh cần tư duy tốt.

Đối với bài toán này, thông thường sẽ có ba dạng: Dạng đối xứng đưa về tổng tích, dạng không đối xứng bậc 1 ghép hệ tìm $x_1$, $x_2$ thế vào tích, và dạng phương trình có nghiệm đẹp. Do các em đã được thầy cô dạy chi tiết nên ở đây chúng tôi chỉ đề cập một vài lưu ý mà không phải thầy cô nào cũng nhắc.

Lưu ý 1: Trong các dạng đề cập ở trên thì dạng phương trình có nghiệm đẹp sẽ thiết kế được nhiều câu hỏi “không đụng hàng” nhất, nhưng cách làm thì không bao giờ là quá khó hay phức tạp cả.
Vậy khi nào phương trình có nghiệm đẹp? Khi $\Delta$ có dạng số chính phương $1$, $4$, $9$, … hoặc có thể viết dưới dạng bình phương $(m-1)^2$, $(2m+1)^2$, …

Ví dụ, Tìm $m$ để phương trình $x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$.
a) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm dương;
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ thỏa mãn $x_1^2-x_2=-1$;
c) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ và điểm $A(x_1;x_2)$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Lời giải
Dễ tính được $\Delta=1$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=m$, $x=m+1$.
a) Phương trình có nghiệm dương ta xét các trường hợp:
TH1: $x=m\ge 0$ thì $x=m+1>0$ nên thỏa mãn đề bài.
TH2: $x=m<0$, để phương trình có nghiệm dương thì $x=m+1>0\Leftrightarrow m>-1$.
Vậy $m>-1$ thì thỏa mãn đề bài.
b) Ta có $m<m+1$ nên $x_1=m$, $x_2=m+1$.
Mà $x_1^2-x_2=-1\Leftrightarrow m^2-m-1=-1\Leftrightarrow m=0, m=1$.
c) Ta có $A(m;m+1)$, suy ra $x=m$, $y=m+1$. Suy ra $y=x+1$. Vậy điểm $A$ luôn nằm trên đường thẳng $d\colon y=x+1$ cố định.

Lưu ý 2: Những điều kiện nghiệm có chứa ẩn ở mẫu hoặc dưới căn thì cần nhớ đặt điều kiện. Đây là điều rất nhiều bạn quên, dẫn đến bị trừ điểm.
Ví dụ, phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=2$ thì cần có điều kiện $x_1,x_2\neq 0$ tương ứng $f(0)\neq 0$. Hay phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=1$ thì cần điều kiện $x_1,x_2\ge 0$ tương đương với $x_1x_2\ge 0$ và $x_1+x_2>0$. Hoặc có bài khó hơn, chẳng hạn phương trình có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng $\sqrt{5}$ thì điều kiện là $x_1,x_2>0$ và $x_1^2+x_2^2=5$.

Lưu ý 3: Biểu thức điều kiện có bậc hai, ta thường có hai hướng xử lý.
– Hướng 1: Dùng điều kiện $x_1$, $x_2$ là nghiệm để chuyển bậc 2 về bậc 1.
Ví dụ, tìm $m$ để phương trình $x^2-2x-m+1=0$ có hai nghiệm thỏa mãn $x_2^2+2x_1+2x_1x_2=0$. Thế thì do $x_2$ là nghiệm phương trình nên thay vào phương trình ta được $x_2^2-2x_2-m+1=0$, suy ra $x_2^2=2x_2+m-1$. Thay vào điều kiện ta được $2(x_1+x_2)+m-1+2x_1x_2=0$. Đến đây bài toán đã trở thành quen thuộc.
– Hướng 2: Biến đổi biểu thức để làm mất bậc hai.
Ví dụ, Tìm $m$ để phương trình $x^2-2x-m+1=0$ có hai nghiệm $x_1^2-x_2^2=8$. Rõ ràng không thể đưa về tổng tích cũng không thể ghép hệ ngay, và dùng điều kiện nghiệm như ở hướng 1 cũng không được. Nhưng để ý thấy $x_1^2-x_2^2=(x_1+x_2)(x_1-x_2)=2(x_1-x_2)$, khi đó bài toán đã trở thành quen thuộc. Hay tìm $m$ để phương trình có nghiệm thỏa mãn $x_1^2+x_1x_2+x_2=3$ thì ta cũng biến đổi được biểu thức điều kiện như sau $x_1^2+x_1x_2+x_2=x_1(x_1+x_2)+x_2=2x_1+x_2$, và bài toán cũng trở thành quen thuộc.

Lưu ý 4: Đối với bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối có một số kiểu như sau, tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
a) $|x_1|+|x_2|=2\rightarrow$ Ta bình phương hai vế đưa về tổng tích.
b) $|x_1|-|x_2|=1 \rightarrow $ Có hai hướng, hoặc là phương trình có nghiệm đẹp, hoặc là phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu và phá được trị tuyệt đối.

Lưu ý 5: Đối với bài toán tương giao của đường thẳng và $(P)$, ngoài các bài tập quen thuộc còn có một số kiểu cần suy luận là
a) Hai giao điểm nằm về hai phía của trục tung $\rightarrow$ phương trình có hai nghiệm trái dấu ($ac<0$).
b) Hai giao điểm nằm cùng phía đối với $Oy$ $\rightarrow$ phương trình có hai nghiệm cùng dấu ($\Delta\ge 0$ và $x_1x_2>0$).
c) Hai giao điểm nằm về bên phải đối với $Oy$ $\rightarrow$ phương trình có hai nghiệm cùng dương ($\Delta\ge 0$ và $x_1x_2>0$, $x_1+x_2>0$).
d) Hai giao điểm nằm bên trái đối với $Oy$ $\rightarrow$ phương trình có hai nghiệm cùng âm ($\Delta\ge 0$ và $x_1x_2>0$, $x_1+x_2<0$).

Trên đây là một số lưu ý cho bài toán phương trình bậc hai chứa tham số. Để hiểu rõ hơn thì các em cần thực hành giải quyết các bài toán sau:

Bài 1: Tìm $m$ để phương trình $x^2+(2m+1)x+m^2-m+2=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $2\left(x_1^2+x_2^2\right)-2x_1x_2=3m+3$.
Đáp số: $m=1$.

Bài 2: Tìm $m$ để phương trình $x^2+2x+m-1=0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $|x_1|+|x_2|=4$.
Đáp số: $m=-2$.

Bài 3: Tìm $m$ để phương trình $x^2+2mx+m^2-m+1=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ sao cho $P=x_1^2+x_2^2-x_1x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp số: $m=1$.

Bài 4: Tìm $m$ để phương trình $x^2+x+m=0$ có hai nghiệm trái dấu và có tỉ số bằng $-2$.
Đáp số: $m=-2$.

Bài 5: Tìm $m$ để $x^2+2x+m-1=0$ có hai nghiệm pb $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1^2x_2-mx_1+2x_2=5$.
Đáp số: $m=-2$.

Bài 6: Tìm $m$ để $x^2-mx-m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1^3-mx_1^2+(m+1)x_2=2$.
Đáp số: $m=1$.

Bài 7: Tìm $m$ để phương trình $x^2-2mx-m^2-1=0$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=4$.
Đáp số $m=\pm 2$.

Bài 8: Chứng minh rằng phương trình $x^2+2mx+m-1=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$. Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x_1$, $x_2$ mà không phụ thuộc vào $m$.
Đáp số: $x_1+x_2+2x_1x_2+2=0$.

Bài 9: Cho phương trình $x^2-3x-5=0$ có hai nghiệm $x_1$, $x_2$. Lập một phương trình ẩn $y$ hệ số nguyên nhận $y_1=\dfrac{1}{x_2^2}$, $y_2=\dfrac{1}{x_1^2}$ làm nghiệm.
Đáp số: $25y^2-19y+1=0$.

Facebook Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *